“本科階段的泛函分析我們以學習線性泛函分析分析爲主，非線性泛函分析一般要等到研究生階段纔開始學習。線性泛函分析主要內容，歸納起來，就是我們常說的一王一後以及四大天王。一王一後就是貝爾綱定理和Hahn-Banach定理，四大天王分別是開映射定理，閉圖像定理， Banach-Steinhaus定理，閉值域，Mazur定理……”
這是一堂複習課，那老師也不多話，直接在課堂上開講：“今天，我們就從一王一後以及四大天王入手，梳理本學期所學過的相關知識點，包括閉算子的譜分析，對稱算子的自伴延，算子半羣理論，線性單調算子，算子代數……”
龐學林在座位上打了個哈欠，他居住的那個招待所隔音效果一般，昨晚沒睡好，這幾天又一直在趕路，他着實有些累了。再加上老師講課時還帶了部分方言口音，語氣不溫不火，雖然講的內容沒什麼問題，但還是讓人感覺犯困。
龐學林不知不覺閉上了眼。
也不知過了多久，龐學林突然被一陣喧鬧聲吵醒。
他有些茫然地睜開眼，便發現教室裡不少學生正用戲謔的眼神看着自己。
講臺上，那位禿頂教授正朝自己所在的方向說話：“那位穿軍綠大衣的同學，上課時間睡得這麼香，看樣子你應該什麼都會了吧，你過來過來，幫我解一解這道題……”
龐學林環顧四周，然後有些茫然地指了指自己：“老師，我嗎？”
“對，說的就是你！快點上來，幫我把黑板上這道題解了……”
“老師，我不是……”
“你上不上來？不上來的話就給我出去，不過你這門課也別想考了。”
“這……好吧！”
龐學林猶豫了片刻，還是選擇起身。
他原本想着等下課之後找這個教授套套話，問一下幾大期刊的地址。
現在如果直接出去，那可真把人家給得罪了。
龐學林走上講臺，衆人這纔看清楚他那一身裝扮。
一身破舊的軍大衣，裡面隱約可以看到黑色的棉布襖，布襖領子口的線頭掉了，露出小半截棉花。
他腳上踩着一雙黑布鞋，但幾天趕路下來，原本漿洗乾淨的布鞋早就變髒兮兮不成樣了。
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這個年代，大學生還是天之驕子，就算家裡再窮，也有幾身用來對換的體面衣服。
如果不是龐學林本身氣質形象都不錯，就他這副衣着打扮，早就被人當做是農村出來的盲流了。
“這人是哪班的啊？以前怎麼沒見過，這身打扮夠可以啊！”
“老王的課都敢睡覺，這傢伙膽子真大。”
“我估計他已經放棄臨時抱佛腳的念頭了，泛函分析太tm難了，老王講課口音又重，我都犯困想睡覺了……”
……
臺下的學生們議論紛紛，一個個好奇地看着龐學林。
王崇慶看着龐學林的裝扮，皺了皺眉，說道：“同學，這道題，你來解吧！”
龐學林點了點頭，看着黑板上的題目。
【設E， F是兩個Banach空間，令 A:D（A）?E→F爲一個閉算子，且 D（A）ˉ=E。求證：D（A?）ˉσ（F′，F）=F′D（A?）ˉσ（F′，F）=F′。
其中 A?是A的伴隨算子，F′是F的對偶空間，σ（F′，F）爲F′上的弱*拓撲， D（A?）ˉσ（F′，F）表示 D（A?）在弱*拓撲σ（F′，F）下的閉包。】
將題目瀏覽完，龐學林幾乎沒怎麼思考，直接開始在下面寫下答案。
【結論 1：設F是E的子向量空間滿足Fˉ≠E.則存在 f∈E“不爲 0，使得（f，x）=0，?x∈F。
結論2：設?:E′→R是線性映射，且對拓撲σ（E′，E）連續，則存在 x∈E使得?（f）=（f，x），?f∈E′。
證明：設?是F′上對拓撲σ（F′，F）連續的線性泛函，在D（A?）上取值爲0。由結論1，爲證弱*拓撲下的稠密性，只需證明?≡0。
由結論 2，存在x∈F使得……】
龐學林的書寫速度很快，整個證明過程幾乎沒怎麼停頓，只用了不到兩分鐘，就完成了答題工作。
“老師，答完了，應該沒什麼問題吧？”
王崇慶有些出神，這道題在泛函分析中，算的上是壓軸大題了，對本科生而言，有一定難度。
他原本都準備等龐學林答不出來的時候，再好好教訓他一番，可沒想到到這傢伙的基礎似乎還不錯，竟然眨眼間就給出了證明。
無論是證明思路還是過程，都簡潔明瞭，幾乎無懈可擊。
臺下，也響起了學生們的議論聲。
“這傢伙到底是誰啊，深藏不漏呀！”
“這道題我一直沒什麼思路，沒想到他竟然這麼快就給解出來了。”
“看樣子我們數學系牛人還挺多的。”
……
不少人紛紛將目光聚焦到龐學林身上。
王崇慶臉色微沉，上課睡覺，就算成績再好也不行，他可不想輕易放過這傢伙。
他想了想，說道：“這位同學，看來你的基礎不錯，那你就給大家講講，你對泛函分析這門課的理解吧。”
泛函分析本質上屬於高度抽象化的一門課程，這也是它難學的原因，就算讓一位博士上臺，也不一定能完完整整地將自己對這門課的理解描述出來。
王崇慶嘴角微微翹起，他可不相信一個本科生有這樣的能耐。
“老師，你確定……讓我來講課？”
龐學林笑了起來。
“確定！”
王崇慶隱隱感覺到對方的笑容中有點詭異，不過他還是點了點頭。
龐學林道：“既然如此，那我就試試吧。我們從泛函分析這門課的歷史開始說起……”
“衆所周知，泛函分析這門學科誕生於20世紀的初期，本身是數學發展中公理化的一個結果。也就說，數學家希望實現分析學的公理化。同樣的公理化運動也出現在幾何和代數上。現在的泛函分析已經變成一個龐然巨獸了，特別是把它和調和分析放在一起的時候，很難分清楚什麼叫做調和分析，什麼叫做泛函分析。不過我接下來要講的不是爲了搞清楚它的定義，而是關注它的基礎和未來的發展趨勢。”
“我們首先討論一些早期的抽象分析，尤其是數學家如何將一個特殊的例子擴大化，使之成爲一般意義上的定理。我們的討論主要涵蓋以下內容。一、Fredholm， Hilbert關於積分方程的工作；二、Volterra 和Hadamard 關於動量問題的研究；三、Lebesgue， Frechet 和 Riesz 在抽象空間上的工作以及最後，Hahn 和Banach關於對偶這個概念的研究……”